Что говорит закон?

По ч. 1 ст. 8 ТК РФ работодатель вправе принимать локальные нормативные акты в пределах своей компетенции. В этих актах, в том числе в правилах внутреннего трудового распорядка, можно закрепить порядок обмена рабочей информацией — например, через конкретный мессенджер.

То есть работодатель может прописать, что рабочая коммуникация должна вестись исключительно в MAX (ст. 22 ТК РФ).
Получается, прямой обязанности «установить приложение» у работника формально нет — но если правилами установлено, что рабочие переписки ведутся только в MAX, то без мессенджера выполнять обязанности он уже не сможет.

Здесь есть нюанс. По закону работодатель обязан обеспечить сотрудника всем необходимым оборудованием для работы, в том числе смартфоном — если без него работа невозможна.
Если же сотрудник использует личный телефон, ему положена компенсация за использование личного имущества, а также за покрытие связанных расходов (например, мобильной связи) — ст. 188 ТК РФ.
Что в итоге?

1. Обязать установить мессенджер работодатель прямо не может. Но может обязать вести всю рабочую переписку через него — а это фактически одно и то же. Главное, чтобы такой порядок был закреплен во внутренних документах.
2. Запрещать пользоваться другими мессенджерами в личных целях работодатель не вправе.
3. Работодатель не имеет права проверять личные телефоны работников на наличие сторонних приложений. Работник может использовать личное устройство для работы, но не обязан.
4. А вот на служебный телефон работодатель вправе установить любые ограничения, в том числе запрет на установку несогласованного ПО.